Polynôme de Bernstein-Sato générique local

Abstract

Étant donnée une famille de fonctions analytiques en $0\in {\mathbf{C}}^n$ paramétrée par un espace lisse, nous étudions le polynôme de Bernstein de la fibre sur une variété irréductible $V$ de l'espace des paramètres et nous montrons qu'il est génériquement constant. Nous montrons que ce polynôme $b$ satisfait une équation fonctionnelle générique sur $V$ et l'on dérive une stratification constructible de l'espace des paramètres par le polynôme de Bernstein de la fibre. Lorsque l'hypersurface admet génériquement une singularité unique en $0\in {\mathbf{C}}^n$ nous montrons que $b$ est le polynôme de Bernstein générique au sens de Briançon-Geandier-Maisonobe. Les outils utilisés sont une généralisation formelle d'un algorithme de Oaku calculant le polynôme de Bernstein local et les bases standard génériques récemment étudiées par l'auteur.