Le premier coefficient négatif des fonctions $L$ de puissances symétriques

Abstract

Désignons par $\lambda_{{\rm sym}^mf}(n)$ le $n$-ème coefficient dans la série de Dirichlet représentant la fonction $L$ de puissances symétriques $L(s, {\rm sym}^mf)$ associée à une forme primitive $f$ de poids $k$ et de niveau $N$. Dans ce papier, on étudie la taille de l'entier le plus petit $n$ tel que $\lambda_{{\rm sym}^mf}(n)<0$ et $(n,N)=1$. En désignant par $n_{{\rm sym}^mf}$ cet entier, on montre que $$ n_{{\rm sym}^3f} \ll (k^{4} N^3)^{6/31} \qquad\text{et}\qquad n_{{\rm sym}^4f} \ll (k^{4} N^4)^{5/36}, $$ où les constantes impliquées sont absolues.