Experimental Mathematics

Sur la courbe modulaire {$X\sb {ßize\text{ndép}}(11)$}

Emmanuel Halberstadt

Abstract

The modular curve $\Xnd{11}$ (or $X_{\mathrm{nonsplit}}(11)$) classifies the elliptic curves $E$ such that Galois acts on the group of 11-torsion points of $E$ through the normaliser of a non-split Cartan subgroup. It is known that this curve has genus 1. We give here a parametrisation of this curve by a certain elliptic curve over $\Q$ with conductor 121. As an application, we give explicit examples of couples of elliptic curves over $\Q$ nonisogenous over $\Q$ but giving symplectically isomorphic modulo 11 Galois representations.

Résumé

La courbe modulaire $\Xnd{11}$ classifie les courbes elliptiques $E$ telles que l'image de la représentation de Galois dans le groupe des points de 11-torsion de $E$ soit contenue dans le normalisateur d'un sous-groupe de Cartan non d'éployé. On sait que $\Xnd{11}$ est de genre 1. Nous donnons ici une paramétrisation de cette courbe par une certaine courbe elliptique sur $\Q$, de conducteur 121. Nous en déduisons des exemples explicites de couples de courbes elliptiques sur $\Q$ non isogènes sur $\Q$ mais donnant des représentations de Galois modulo 11 symplectiquement isomorphes.

Article information

Source
Experiment. Math., Volume 7, Issue 2 (1998), 163-174.

Dates
First available in Project Euclid: 24 March 2003

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https://projecteuclid.org/euclid.em/1048515664

Mathematical Reviews number (MathSciNet)
MR1677158

Zentralblatt MATH identifier
0922.11047

Subjects
Primary: 11G05: Elliptic curves over global fields [See also 14H52]
Secondary: 11G18: Arithmetic aspects of modular and Shimura varieties [See also 14G35]

Citation

Halberstadt, Emmanuel. Sur la courbe modulaire {$X\sb {ßize\text{ndép}}(11)$}. Experiment. Math. 7 (1998), no. 2, 163--174. https://projecteuclid.org/euclid.em/1048515664


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