Experimental Mathematics

Polynômes prenant des valeurs premières

François Dress and Michel Olivier

Résumé

On décrit, essentiellement pour les polynômes du second degré, deux modèles heuristiques probabilistes donnant le nombre k de valeurs premières prises par ces polynômes sur un intervalle de n valeurs consécutives de la variable. Le premier modèle est consacré au cas k=n et fait apparaître un "mur de Schinzel", d'ordre de grandeur $n^n$, en-dessous duquel l'évènement "n valeurs premières pour n valeurs consécutives de la variable" est statistiquement exceptionnel, et au-dessus duquel il est statistiquement fréquent s'il n'y a pas d'obstruction arithmétique. Le deuxième modèle est consacré au cas k<n et est fond sur une loi binomiale avec avec une probabilité qui dérive de la constante de Hardy-Littlewood. Pour ce modèlle comme pour le précédent, les expérimentations numériques présentent une concordance satisfaisante. Ce travail est complété par une table des meilleurs polynômes trouvés jusqu'à n=40338. Enfin, on donne des résultats numériques pour les polynômes de degré 3, 4 et 5.

Abstract

We describe two heuristic probabilistic models that give the number $k$ of prime values of quadratic polynomials on an interval of $n$ consecutive values of the variable. The first model is devoted to the case $k=n$ and reveals a "Schinzel barrier", of size $n^n$: below this barrier, the event "n prime values for n consecutive values of the variable" is statistically exceptional, and above, it is statistically frequent provided that there is no arithmetic obstruction. The second model is devoted to the case k<n and is based on a binomial law with a probability deriving from the Hardy-Littlewood constant. For both models, numerical experiments show a satisfactory similarity. This work is illustrated with a list of the best polynomials found for $n\leq40338$. We also give some numerical results for polynomials of degree 3, 4 and 5.

Article information

Source
Experiment. Math., Volume 8, Issue 4 (1999), 319-338.

Dates
First available in Project Euclid: 9 March 2003

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https://projecteuclid.org/euclid.em/1047262355

Mathematical Reviews number (MathSciNet)
MR1737229

Zentralblatt MATH identifier
1005.11042

Subjects
Primary: 11N32: Primes represented by polynomials; other multiplicative structure of polynomial values
Secondary: 11Y35: Analytic computations

Citation

Dress, François; Olivier, Michel. Polynômes prenant des valeurs premières. Experiment. Math. 8 (1999), no. 4, 319--338. https://projecteuclid.org/euclid.em/1047262355


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