Représentations lisses modulo ℓ de GLm(D)

Abstract

Soit $\mathrm{F}$ un corps localement compact non archimédien de caractéristique résiduelle $p$, soit $\mathrm{D}$ une algèbre à division centrale de dimension finie sur $\mathrm{F}$ et soit $\mathrm{R}$ un corps algébriquement clos de caractéristique différente de $p$. Nous classons les représentations lisses irréductibles de ${GL}_m\left(\mathrm{D}\right)$, $m⩾1$, à coefficients dans $\mathrm{R}$ en termes de multisegments, ce qui généralise des travaux de Zelevinski, Tadić et Vignéras. Nous prouvons que toute $\mathrm{R}$-représentation irréductible de ${GL}_m\left(\mathrm{D}\right)$ a un unique support supercuspidal, et nous obtenons ainsi deux classifications: l’une par les multisegments supercuspidaux, qui classe les représentations en fonction de leur support supercuspidal; l’autre par les multisegments apériodiques, qui classe les représentations en fonction de leur support cuspidal. Ces constructions sont effectuées de façon purement locale, et font un usage substantiel de la théorie des types.

Let $\mathrm{F}$ be a non-Archimedean locally compact field of residue characteristic $p$, let $\mathrm{D}$ be a finite-dimensional central division $\mathrm{F}$-algebra, and let $\mathrm{R}$ be an algebraically closed field of characteristic different from $p$. We classify all smooth irreducible representations of ${GL}_m\left(\mathrm{D}\right)$ for $m⩾1$, with coefficients in $\mathrm{R}$, in terms of multisegments, generalizing works by Zelevinski, Tadić, and Vignéras. We prove that any irreducible $\mathrm{R}$-representation of ${GL}_m\left(\mathrm{D}\right)$ has a unique supercuspidal support and thus get two classifications: one by supercuspidal multisegments, classifying representations with a given supercuspidal support, and one by aperiodic multisegments, classifying representations with a given cuspidal support. These constructions are made in a purely local way, with a substantial use of type theory.