Prolongement analytique sur les variétés de Siegel

Abstract

We study analytic continuation of overconvergent modular forms on Siegel varieties. We first analyze the dynamic of Hecke correspondances at $p$ over Siegel varieties with parahoric-level structure. We then concentrate on genus $2$ and prove a classicity criterion: a Siegel overconvergent modular form, of weight $(k_1,k_2)$, eigen for $U_p$ with eigenvalue $a_p$, such that $k_2>v(a_p)+3$ is classical. This implies that genus $2$ cuspidal ordinary $p$-adic modular forms of weight $(k_1,k_2)$ with $k_1\ge k_2\ge 4$ are classical.

Nous étudions la possibilité de réaliser le prolongement analytique des formes modulaires surconvergentes sur les variétés de Siegel. Dans un premier temps, nous analysons la dynamique des correspondances de Hecke en $p$ sur les variétés de Siegel avec niveau parahorique. Nous nous intéressons ensuite au genre $2$ et démontrons un critère de classicité: toute forme modulaire de Siegel surconvergente de poids $(k_1,k_2)$, propre pour $U_p$ pour la valeur propre $a_p$, avec $k_2>3+v(a_p)$ est classique. Ceci entraîne que les formes modulaires $p$-adiques ordinaires cuspidales de Siegel de genre $2$ et de poids $(k_1,k_2)$ avec $k_1\ge k_2\ge 4$ sont classiques.