Abstract
Soit Γ un groupe Kleinien non élémentaire agissant sur une variété de Cartan-Hadamard $\tilde X$; on note Λ(Γ) l'ensemble non-errant du flot géodésique (φt) agissant sur le fibré unitaire tangent T1($\tilde{X}$/Γ). Lorsque Γ est convexe cocompact (i.e. Λ(Γ) est compact), la restriction de (φt) à Λ(Γ) est un flot Axiom A : ainsi, d'après un théorème de Bowen-Ruelle, il existe sur Λ(Γ) une unique mesure de probabilité d'entropie maximale, invariante sous l'action de (φt). Dans cet article, nous nous affranchissons de l'hypothèse de compacité de Λ(Γ) et étudions le cas où Γ est quelconque. Nous montrons que la restriction de (φt) à Λ(Γ) admet une mesure de probabilité d'entropie maximale si et seulement si la mesure de Patterson-Sullivan est finie; de plus, lorsque la mesure de Patterson-Sullivan est finie, c'est l'unique mesure d'entropie maximale pour le flot géodésique.
Let Γ be a nonelementary Kleinian group acting on a Cartan-Hadamard manifold $\tilde{X}$; denote by Λ(Γ) the nonwandering set of the geodesic flow (φt) acting on the unit tangent bundle T1($\tilde{X}$/Γ). When Γ is convex cocompact (i.e., Λ(Γ) is compact), the restriction of (φt) to Λ(Γ) is an Axiom A flow: therefore, by a theorem of Bowen and Ruelle, there exists a unique invariant measure on Λ(Γ) which has maximal entropy. In this paper, we study the case of an arbitrary Kleinian group Γ. We show that there exists a measure of maximal entropy for the restriction of(φt) to Λ(Γ) if and only if the Patterson-Sullivan measure is finite; furthermore when this measure is finite, it is the unique measure of maximal entropy.
By a theorem of Handel and Kitchens, the supremum of the measure-theoretic entropies equals the infimum of the entropies of the distances d on Λ(X); when Γ is geometrically finite, we show that this infimum is achieved by the Riemannian distance d on Λ(X).
Citation
Jean-Pierre Otal. Marc Peigné. "Principe variationnel et groupes Kleiniens." Duke Math. J. 125 (1) 15 - 44, 1 October 2004. https://doi.org/10.1215/S0012-7094-04-12512-6
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