We introduce a class extending the notion of Chern–Mather class to possibly nonreduced schemes, and use it to express the difference between Schwartz–MacPherson’s Chern class and the class of the virtual tangent bundle of a singular hypersurface of a nonsingular variety. Applications include constraints on the possible singularities of a hypersurface and on contacts of nonsingular hypersurfaces, and multiplicity computations.

We give a survey of the theory of cobordism for knots, first for algebraic knots and after for fibered non-simple knots. We also explain the construction of the first examples of cobordant but not isotopic non-spherical knots.

In this paper, we give a survey and recent developments about the definitions of characteristic classes for possibly singular complex analytic (or algebraic) varieties. We recall the classical construction of characteristic classes in the case of manifolds, by obstruction theory and using Schubert cycles. Then, we present various generalizations of characteristic classes to singular varieties, due to M.H. Schwartz, W.T. Wu, J. Mather, R. MacPherson, W. Fulton and K. Johnson and we discuss relations among these definitions. More recent results concern the definition and properties of so-called Milnor classes, as developped by P. Aluffi, J.P. Brasselet-D. Lehmann-J. Seade-T. Suwa, A. Parusiński-P. Pragacz and S. Yokura.

Generalized Enriques diagrams are combinatorial data associated with constellations of infinitely near points and proximity relations. Classically they were introduced to deal with linear systems of curves with base conditions. We present a survey on some aspects and new results on this diagrams, examples and applications to relative characteristic cones and Zariski's complete ideal theory.

In this paper we study the quotient of an isolated strictly log-canonical singularity by a finite group. As a result, we obtain the boundedness of indices of these singularities of dimension 3 and determine all possible indices. We also determine the ramification indices of the quotient map of a 2-dimensional strictly log-canonical singularities by a finite group.

Dans un travail antérieur ([BLSS]), en collaboration avec Brasselet, Suwa et Seade, nous avons presenté une théorie des classes de Milnor pour les ensembles analytiques complexes $V$ qui sont localement des intersections complètes dans une variété holomorphe ambiante $M$ sans singularité. Le principe consistait à comparer, dans ľhomologie $H_{2*}(V)$, deux théories des classes de Chern de $V$, les classes de Schwartz–MacPherson $c_*^{\mathrm{SMP}} (V)$ et les classes virtuelles $c_*^{\mathrm{vir}}(V)$ (encore appelées de Fulton–Johnson): ces deux théories sont égales lorsque $V$ est lisse, et coïncident alors avec ľimage des classes de Chern usuelles par la dualité de Poincaré. Dans le cas général, leur différence se “localise” près de la partie singulière $S$ de $V$: il existe un élément $\mu_*(V, S) \in H_{2*}(S)$, défini naturellement, dont ľimage dans $H_{2*}(V)$ est égale à $(-1)^n[c_*^{\mathrm{Vir}}(V) - c_*^{\mathrm{SMP}}(V)]$. En outre, si $(S_\alpha)_\alpha$ désigne la famille des composantes connexes de $S$, la composante $\mu_0(V, S_\alpha)$ de $\mu_0(V, S)$ sur $H_0(S_\alpha)$ est égale au nombre de Milnor de $S_\alpha$ dans tous les cas où celui-ci a déjà été défini.

Dans [BLSS], nous utilisions à la fois des méthodes de Topologie et de Géométrie différentielle. Nous proposons ici une version de pure Géométrie différentielle.