On the Stein Effect Under Density Power Divergence Loss

Abstract

In this paper we consider a decision-theoretical study of predictive density estimators of multivariate observables measured by the frequentist risk corresponding to Density Power Divergences (DPD) as a set of loss functions (for every \(\alpha \in [0,1]\)). The main themes, revolve about the inefficiency of MRE (Minimum Risk Equivariant) predictors in high enough dimensions and about the efficiency of some families of plug-in estimators to be determined in the paper. The admissibility of both the sample mean, which is the Bayes estimate of the population mean under the DPD loss and under the improper flat prior, and its analog in the predictive problem is established for one or two dimensions, as well as their respective minimaxity in any dimension. A class of shrinkage estimators is given either when the variance (degenerate case) is known or when variance-covariance matrix is unknown (including the degenerate case), under both the point estimation problem and the predictive problem. Finally, we extend these findings, to shrinkage toward a regression surface applied on modified version of the James-Stein estimator i.e. Lindley's estimator.Finally, we extend these findings to the case of unknown variance covariance matrix.

Dans cet article, nous considérons une étude de décision théorique d'estimateurs de densité prédictifs d'observables multivariés mesurés par le risque fréquentiste correspondant aux divergences de puissance de densité (DPD) en tant qu'ensemble de fonctions de perte (pour chaque \(\alpha \in [0,1]\)). Les thèmes principaux tournent autour de l'inefficacité des estimateurs prédictifs ERM (équivariant à Risque Minimal) dans des dimensions suffisamment élevées et de l'efficacité de certaines familles d'estimateurs plug-in à déterminer dans le document. L’admissibilité de la moyenne de l’échantillon, qui correspond à l’estimation de Bayes de la moyenne de la population dans le cadre de la perte de DPD et la loi a-priori non-informative impropre, et son analogue dans le problème prédictif est établie pour une ou deux dimensions, ainsi que leur minimaxité respective toute dimension. Une classe d'estimateurs dominants est donnée soit lorsque la variance (cas dégénéré) est connue, soit lorsque la matrice de variance-covariance est inconnue (y compris le cas dégénéré), à la fois sous le problème de l'estimation ponctuelle et sous celui de la prédiction. Enfin, nous étendons ces résultats à l'amélioration vers une surface de régression appliquée à la version modifiée de l’estimateur de James-Stein, c’est-à-dire à l’estimateur de Lindley. Enfin, nous étendons ces résultats.