Prescription du spectre de Steklov dans une classe conforme

Abstract

Sur toute variété compacte de dimension $n\ge 3$ à bord, on prescrit toute partie finie du spectre de Steklov dans une classe conforme donnée. En particulier, on prescrit la multiplicité des valeurs propres. Sur une surface compacte à bord donnée, on montre que la multiplicité de la $k$-ième valeur propre est bornée indépendamment de la métrique. Sur le disque, on donne des résultats plus précis : la multiplicité de la première et la deuxième valeurs propres non nulles sont au plus 2 et 3 respectivement. Pour le problème de Steklov–Neumann sur le disque, on montre que la multiplicité de la $k$-ième valeur propre non nulle est au plus $k+1$.

On any compact manifold of dimension $n\ge 3$ with boundary, we prescribe any finite part of the Steklov spectrum within a given conformal class. In particular, we prescribe the multiplicity of the first eigenvalues. On a compact surface with boundary, we show that the multiplicity of the $k$-th eigenvalue is bounded independently of the metric. On the disk, we give more precise results: the multiplicity of the first and second positive eigenvalues are at most 2 and 3 respectively. For the Steklov–Neumann problem on the disk, we prove that the multiplicity of the $k$-th positive eigenvalue is at most $k+1$.