Le théorème de Fermat sur certains corps de nombres totalement réels

Abstract

Soit $K$ un corps de nombres totalement réel. Pour tout nombre premier $p\ge 5$, notons $F_p$ la courbe de Fermat d’équation $x^p+y^p+z^p=0$. Sous l’hypothèse que $2$ est totalement ramifié dans $K$, on établit quelques résultats sur l’ensemble $F_p\left(K\right)$ des points de $F_p$ rationnels sur $K$. On obtient un critère pour que le théorème de Fermat asymptotique soit vrai sur $K$, critère relatif à l’ensemble des newforms modulaires paraboliques de Hilbert sur $K$, de poids parallèle $2$ et de niveau l’idéal premier au-dessus de $2$. Il peut souvent se tester simplement numériquement, notamment quand le nombre de classes restreint de $K$ vaut $1$. Par ailleurs, en utilisant la méthode modulaire, on démontre le théorème de Fermat de façon effective, sur certains corps de nombres dont les degrés sur $\mathbb{Q}$ sont $3,4,5,6$ et $8$.

Let $K$ be a totally real number field. For all prime number $p\ge 5$, let us denote by $F_p$ the Fermat curve of equation $x^p+y^p+z^p=0$. Under the assumption that $2$ is totally ramified in $K$, we establish some results about the set $F_p\left(K\right)$ of points of $F_p$ rational over $K$. We obtain a criterion so that the asymptotic Fermat’s last theorem is true over $K$, criterion related to the set of Hilbert modular cuspidal newforms over $K$, of parallel weight $2$ and of level the prime ideal above $2$. It is often simply testable numerically, particularly if the narrow class number of $K$ is $1$. Furthermore, using the modular method, we prove Fermat’s last theorem effectively, over some number fields whose degrees over $\mathbb{Q}$ are $3,4,5,6$ and $8$.