$(\varphi,\Gamma)$-modules de de Rham et fonctions $L$ $p$-adiques

Abstract

On développe une variante des méthodes de Coleman et Perrin-Riou permettant, pour une représentation galoisienne de de Rham, construire des fonctions $L$ $p$-adiques à partir d’un système compatible d’éléments globaux. On obtient de la sorte des fonctions analytiques sur un ouvert de l’espace des poids contenant les caractères localement algébriques de conducteur assez grand. Appliqué au système d’Euler de Kato, cela fournit des fonctions $L$ $p$-adiques pour les courbes elliptiques à mauvaise réduction additive et, plus généralement, pour les formes modulaires supercuspidales en $p$. En dimension $2$, nous prouvons une équation fonctionnelle pour nos fonctions $L$ $p$-adiques.

We develop a variant of Coleman and Perrin-Riou’s methods giving, for a de Rham $p$-adic Galois representation, a construction of $p$-adic $L$-functions from a compatible system of global elements. As a result, we construct analytic functions on an open set of the $p$-adic weight space containing all locally algebraic characters of large enough conductor. Applied to Kato’s Euler system, this gives $p$-adic $L$-functions for elliptic curves with additive bad reduction and, more generally, for modular forms which are supercuspidal at $p$. In the case of dimension $2$, we prove a functional equation for our $p$-adic $L$-functions.