Obstruction de descente et obstruction de Brauer–Manin étale

Abstract

Soit $X$ une variété projective lisse géométriquement intègre sur un corps de nombres. On considère deux obstructions au principe de Hasse sur $X$ : l’obstruction de Brauer–Manin appliquée aux revêtements étales de $X$ et l’obstruction de descente sur $X$. On démontre que la première est plus forte que la seconde. On en déduit, grâce à un exemple récent de Poonen, que l’obstruction de descente est insuffisante pour expliquer tous les contrexemples au principe de Hasse.

Let $X$ be a smooth, projective and geometrically integral variety over a number field. We consider two obstructions to the Hasse principle on $X$$:$ the Brauer–Manin obstruction applied to étale covers of $X$ and the descent obstruction on $X$. We prove that the first one is at least as strong as the second. Combining this with a recent example of Poonen shows that the descent obstruction is not sufficient to explain all counterexamples to the Hasse principle.