Algebra & Number Theory

Triangulable $\mathcal O_F$-analytic $(\varphi_q,\Gamma)$-modules of rank 2

Lionel Fourquaux and Bingyong Xie

Full-text: Open access

Abstract

The theory of (φq,Γ)-modules is a generalization of Fontaine’s theory of (φ,Γ)-modules, which classifies GF-representations on OF-modules and F-vector spaces for any finite extension F of p. In this paper following Colmez’s method we classify triangulable OF-analytic (φq,Γ)-modules of rank 2. In the process we establish two kinds of cohomology theories for OF-analytic (φq,Γ)-modules. Using them, we show that if D is an étale OF-analytic (φq,Γ)-module such that Dφq=1,Γ=1=0 (i.e., VGF=0, where V is the Galois representation attached to D), then any overconvergent extension of the trivial representation of GF by V is OF-analytic. In particular, contrary to the case of F=p, there are representations of GF that are not overconvergent.

Article information

Source
Algebra Number Theory, Volume 7, Number 10 (2013), 2545-2592.

Dates
Received: 9 October 2012
Revised: 11 March 2013
Accepted: 11 April 2013
First available in Project Euclid: 20 December 2017

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https://projecteuclid.org/euclid.ant/1513730116

Digital Object Identifier
doi:10.2140/ant.2013.7.2545

Mathematical Reviews number (MathSciNet)
MR3194651

Zentralblatt MATH identifier
1297.11145

Subjects
Primary: 11S20: Galois theory

Keywords
triangulable analytic

Citation

Fourquaux, Lionel; Xie, Bingyong. Triangulable $\mathcal O_F$-analytic $(\varphi_q,\Gamma)$-modules of rank 2. Algebra Number Theory 7 (2013), no. 10, 2545--2592. doi:10.2140/ant.2013.7.2545. https://projecteuclid.org/euclid.ant/1513730116


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References

  • J. Ax, “Zeros of polynomials over local fields–-The Galois action”, J. Algebra 15 (1970), 417–428.
  • L. Berger, “Représentations $p$-adiques et équations différentielles”, Invent. Math. 148:2 (2002), 219–284.
  • L. Berger, “Limites de représentations cristallines”, Compos. Math. 140:6 (2004), 1473–1498.
  • L. Berger and P. Colmez, “Familles de représentations de de Rham et monodromie $p$-adique”, pp. 303–337 in Représentations $p$-adiques de groupes $p$-adiques, I: Représentations galoisiennes et $(\phi,\Gamma)$-modules, edited by L. Berger et al., Astérisque 319, Société Mathématique de France, Paris, 2008.
  • G. Chenevier, “Sur la densité des représentations cristallines de $\text{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}\sb p/\mathbb Q\sb p)$”, Math. Ann. 355:4 (2013), 1469–1525.
  • F. Cherbonnier and P. Colmez, “Représentations $p$-adiques surconvergentes”, Invent. Math. 133:3 (1998), 581–611.
  • P. Colmez, “Périodes des variétés abéliennes à multiplication complexe”, Ann. of Math. $(2)$ 138:3 (1993), 625–683.
  • P. Colmez, “Espaces de Banach de dimension finie”, J. Inst. Math. Jussieu 1:3 (2002), 331–439.
  • P. Colmez, “Représentations triangulines de dimension 2”, pp. 213–258 in Représentations $p$-adiques de groupes $p$-adiques, I: Représentations galoisiennes et $(\phi,\Gamma)$-modules, edited by L. Berger et al., Astérisque 319, Société Mathématique de France, Paris, 2008.
  • P. Colmez, “La série principale unitaire de $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Q}_p)$: Vecteurs localement analytiques”, preprint, 2010, http://www.math.jussieu.fr/~colmez/locan.pdf.
  • P. Colmez, “La série principale unitaire de ${\rm GL}\sb 2(\mathbb Q\sb p)$”, pp. 213–262 in Représentations $p$-adiques de groupes $p$-adiques, II: Représentations de $\text{GL}_2 (\mathbb Q_p)$ et $(\varphi, \gamma)$-modules, edited by L. Berger et al., Astérisque 330, Société Mathématique de France, Paris, 2010.
  • P. Colmez, “$(\phi,\Gamma)$-modules et représentations du mirabolique de ${\rm GL}\sb 2(\mathbb Q\sb p)$”, pp. 61–153 in Représentations $p$-adiques de groupes $p$-adiques, II: Représentations de $\text{GL}_2 (\mathbb Q_p)$ et $(\varphi, \gamma)$-modules, edited by L. Berger et al., Astérisque 330, Société Mathématique de France, Paris, 2010.
  • P. Colmez, “Représentations de ${\rm GL}\sb 2(\mathbb Q\sb p)$ et $(\phi,\Gamma)$-modules”, pp. 281–509 in Représentations $p$-adiques de groupes $p$-adiques, II: Représentations de $\text{GL}_2 (\mathbb Q_p)$ et $(\varphi, \gamma)$-modules, edited by L. Berger et al., Astérisque 330, Société Mathématique de France, Paris, 2010.
  • J.-M. Fontaine, “Représentations $p$-adiques des corps locaux, I”, pp. 249–309 in The Grothendieck Festschrift, II, edited by P. Cartier et al., Progr. Math. 87, Birkhäuser, Boston, 1990.
  • L. Fourquaux, Logarithme de Perrin-Riou pour des extensions associées à un groupe de Lubin–Tate, Ph.D. thesis, Université Pierre et Marie Curie, 2005, http://tel.archives-ouvertes.fr/docs/00/06/13/65/PDF/these.pdf.
  • K. S. Kedlaya, “A $p$-adic local monodromy theorem”, Ann. of Math. $(2)$ 160:1 (2004), 93–184.
  • M. Kisin and W. Ren, “Galois representations and Lubin–Tate groups”, Doc. Math. 14 (2009), 441–461.
  • J. Kohlhaase, “The cohomology of locally analytic representations”, J. Reine Angew. Math. 651 (2011), 187–240.
  • J. Le Borgne, “Optimisation du théorème d'Ax–Sen–Tate et application à un calcul de cohomologie galoisienne $p$-adique”, Ann. Inst. Fourier $($Grenoble$)$ 60:3 (2010), 1105–1123.
  • R. Liu, “Cohomology and duality for $(\phi,\Gamma)$-modules over the Robba ring”, Int. Math. Res. Not. 2008:3 (2008), Art. ID rnm150.
  • R. Liu, B. Xie, and Y. Zhang, “Locally analytic vectors of unitary principal series of ${\rm GL}\sb 2(\mathbb Q\sb p)$”, Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. $(4)$ 45:1 (2012), 167–190.
  • K. Nakamura, “Classification of two-dimensional split trianguline representations of $p$-adic fields”, Compos. Math. 145:4 (2009), 865–914.
  • P. Schneider, Nonarchimedean functional analysis, Springer Monographs in Mathematics, Springer, Berlin, 2002.
  • P. Schneider and J. Teitelbaum, “$p$-adic Fourier theory”, Doc. Math. 6 (2001), 447–481.
  • A. J. Scholl, “Higher fields of norms and $(\phi,\Gamma)$-modules”, Doc. Math. Extra Vol. (2006), 685–709.
  • J. Tate, “Duality theorems in Galois cohomology over number fields”, pp. 288–295 in Proc. Internat. Congr. Mathematicians (Stockholm, 1962), Inst. Mittag-Leffler, Djursholm, 1963.