Raccord sur les espaces de Berkovich

Abstract

Nous présentons ici quelques résultats autour du problème inverse de Galois. Nous commençons par rappeler la stratégie géométrique classique permettant de démontrer que tout groupe fini est groupe de Galois sur $C\left(T\right)$. Nous l’appliquons dans une autre situation afin de démontrer que, si $\mathcal{ℳ}\left(B\right)$ désigne le corps des fonctions méromorphes sur une partie $B$, d’un certain type, d’un espace de Berkovich sur un corps, alors l’énoncé précédent reste valable lorsque l’on remplace $C$ par $\mathcal{ℳ}\left(B\right)$. On retrouve, en particulier, le fait que tout groupe fini est groupe de Galois sur $K\left(T\right)$, lorsque $K$ est un corps valué complet dont la valuation n’est pas triviale.

Dans un second temps, en utilisant une méthode similaire, nous proposons une nouvelle preuve, purement géométrique, dans le langage des espaces de Berkovich sur un anneau d’entiers de corps de nombres, d’un résultat de D. Harbater assurant que tout groupe fini est groupe de Galois sur un corps de séries arithmétiques convergentes, ainsi que quelques généralisations.

Patching on Berkovich spaces. We present a few results related to the inverse Galois problem. First we recall the geometric patching strategy that is used to handle the problem in the complex case. We use it in a different situation to prove that if $\mathcal{ℳ}\left(B\right)$ is the field of meromorphic functions over a part $B$, satisfying some conditions, of a Berkovich space over a valued field, then every finite group is a Galois group over $\mathcal{ℳ}\left(B\right)\left(T\right)$. From this we derive a new proof of the fact that any finite group is a Galois group over $K\left(T\right)$, where $K$ is a complete valued field with nontrivial valuation.

In a second part, we deal with the following theorem by D. Harbater: every finite group is a Galois group over a field of convergent arithmetic power series. We switch to Berkovich spaces over the ring of integers of a number field and use a similar strategy to give a new and purely geometric proof of this theorem, as well as some generalizations.