Torsion pour les variétés abéliennes de type I et II

Abstract

Soit $A$ une variété abélienne définie sur un corps de nombres $K$. Le nombre de points de torsion définis sur une extension finie $L$ est borné polynomialement en terme du degré $\left[L:K\right]$ de $L$ sur $K$. Sous les trois hypothèses suivantes nous calculons l’exposant optimal dans cette borne, en terme de la dimension des sous-variétés abéliennes de $A$ et de leurs anneaux d’endomorphismes. Les trois hypothèses faites sur $A$ sont les suivantes : (1) $A$ est géométriquement isogène à un produit de variétés abéliennes simples de type I ou II dans la classification d’Albert ; (2) $A$ est de “type Lefschetz” c’est-à-dire que le groupe de Mumford–Tate est le groupe des similitudes symplectiques commutant aux endomorphismes ; (3) $A$ vérifie la conjecture de Mumford–Tate. Le résultat est notamment inconditionnel (i.e., ces trois hypothèses sont vérifiées) pour un produit de variétés abéliennes simples de type I ou II et de dimension relative impaire. Par ailleurs nous prouvons, en étendant des résultats de Serre, Pink et Hall, la conjecture de Mumford–Tate pour quelques nouveaux cas de variétés abéliennes de type Lefschetz.

Let $A$ be an abelian variety defined over a number field $K$. The number of torsion points that are rational over a finite extension $L$ is bounded polynomially in terms of the degree $\left[L:K\right]$ of $L$ over $K$. Under the following three conditions we compute the optimal exponent for this bound, in terms of the dimension of abelian subvarieties and their endomorphism rings. The three hypotheses are the following: (1) $A$ is geometrically isogenous to a product of simple abelian varieties of type I or II, according to the Albert classification; (2) $A$ is of “Lefschetz type,” that is, the Mumford–Tate group is the group of symplectic similitudes which commute with the endomorphism ring. (3) $A$ satisfies the Mumford–Tate conjecture. This result is unconditional (i.e., the three hypotheses are satisfied) for a product of simple abelian varieties of type I or II with odd relative dimension. Further, building on work of Serre, Pink and Hall, we also prove the Mumford–Tate conjecture for a few new cases of abelian varieties of Lefschetz type.