On the Poisson boundary of the relativistic Brownian motion

Abstract

In this paper, we determine the Poisson boundary of the relativistic Brownian motion in two classes of Lorentzian manifolds, namely model manifolds of constant scalar curvature and Robertson–Walker space–times, the latter constituting a large family of curved manifolds. Our objective is two fold: on the one hand, to understand the interplay between the geometry at infinity of these manifolds and the asymptotics of random sample paths, in particular to compare the stochastic compactification given by the set of exit points of the process to classical purely geometric compactifications such as the conformal or causal boundaries. On the other hand, we want to illustrate the power of the dévissage method introduced by the authors (in Séminaire de Probabilités XLVIII (2016) 199–229 Springer), method which we show to be particularly well suited in the geometric contexts under consideration here.

Dans cet article, nous déterminons la frontière de Poisson du mouvement brownien relativiste dans deux classes de variétés lorentziennes, les espaces modèles de courbure constante et les espaces de Robertson–Walker qui constituent une vaste famille d’espace-temps courbes. Notre objectif est double : d’une part, il s’agit de comprendre les relations entre la géométrie à l’infini de ces variétés et le comportement asymptotique des trajectoires browniennes, avec comme objectif de comparer la compactification stochastique formée par les points de sortie du processus aux frontières purement géométriques, conformes ou causales. D’autre part, nous souhaitons illustrer la pertinence de la méthode de dévissage introduite par les auteurs (Séminaire de Probabilités XLVIII (2016) 199–229 Springer), méthode qui s’avère particulièrement bien adaptée aux différents contextes géométriques considérés.