Induced graphs of uniform spanning forests

Abstract

Given a subgraph $H$ of a graph $G$, the induced graph of $H$ is the largest subgraph of $G$ whose vertex set is the same as that of $H$. Our paper concerns the induced graphs of the components of $\mathsf{WSF}(G)$, the wired uniform spanning forest on $G$, and, to a lesser extent, $\mathsf{FSF}(G)$, the free uniform spanning forest. We show that the induced graph of each component of $\mathsf{WSF}(\mathbb{Z}^{d}$) is almost surely recurrent when $d\ge 8$. Moreover, the effective resistance between two points on the ray of the tree to infinity within a component grows linearly when $d\ge 9$. For any vertex-transitive graph $G$, we establish the following resampling property: Given a vertex $o$ in $G$, let $\mathcal{T}_{o}$ be the component of $\mathsf{WSF}(G)$ containing $o$ and $\overline{\mathcal{T}_{o}}$ be its induced graph. Conditioned on $\overline{\mathcal{T}_{o}}$, the tree $\mathcal{T}_{o}$ is distributed as $\mathsf{WSF}(\overline{\mathcal{T}_{o}})$. For any graph $G$, we also show that if $\mathcal{T}_{o}$ is the component of $\mathsf{FSF}(G)$ containing $o$ and $\overline{\mathcal{T}_{o}}$ is its induced graph, then conditioned on $\overline{\mathcal{T}_{o}}$, the tree $\mathcal{T}_{o}$ is distributed as $\mathsf{FSF}(\overline{\mathcal{T}_{o}})$.

Étant donné un sous-graphe $H$ d’un graphe $G$, le graphe induit de $H$ est le plus grand sous-graphe de $G$ dont l’ensemble de sommets est le même que celui de $H$. Notre article concerne les graphes induits des composants connexes de $\mathsf{WSF}(G)$, la forêt recouvrante uniforme câblée sur $G$, et, dans une moindre mesure, $\mathsf{FSF}(G)$, la forêt recouvrante uniforme libre. Nous montrons que le graphe induit de chaque composant de $\mathsf{WSF}(\mathbb{Z}^{d}$) est presque sûrement récurrent lorsque $d\ge 8$. De plus, la résistance effective entre deux points du rayon de l’arbre à l’infini au sein d’un composant croît linéairement lorsque $d\ge 9$. Pour tout graphe transitif à sommets $G$, nous établissons la propriété de rééchantillonnage suivante: Étant donné un sommet $o$ dans $G$, soit $\mathcal{T}_{o}$ le composant de $\mathsf{WSF}(G)$ qui contient $o$ et $\overline{\mathcal{T}_{o}}$ son graphe induit. Conditionné sur $\overline{\mathcal{T}_{o}}$, l’arbre $\mathcal{T}_{o}$ est distribué comme $\mathsf{WSF}(\overline{\mathcal{T}_{o}})$. Pour tout graphe $G$, nous montrons également que si $\mathcal{T}_{o}$ est le composant de $\mathsf{FSF}(G)$ qui contient $o$ et $\overline{\mathcal{T}_{o}}$ est son graphe induit, alors conditionné sur $\overline{\mathcal{T}_{o}}$, l’arbre $\mathcal{T}_{o}$ est distribué comme $\mathsf{FSF}(\overline{\mathcal{T}_{o}})$.