Trees within trees II: Nested fragmentations

Abstract

Similarly as in (Electron. J. Probab. 23 (2018)) where nested coalescent processes are studied, we generalize the definition of partition-valued homogeneous Markov fragmentation processes to the setting of nested partitions, i.e. pairs of partitions $(\zeta,\xi)$ where $\zeta$ is finer than $\xi$. As in the classical univariate setting, under exchangeability and branching assumptions, we characterize the jump measure of nested fragmentation processes, in terms of erosion coefficients and dislocation measures. Among the possible jumps of a nested fragmentation, three forms of erosion and two forms of dislocation are identified – one being specific to the nested setting and relating to a bivariate paintbox process.

Poursuivant l’idée de (Electron. J. Probab. 23 (2018)) où les processus de coalescence emboîtés sont étudiés, nous étendons ici la définition des processus de fragmentation markoviens homogènes aux processus de fragmentation à valeurs dans les partitions emboîtées, c’est-à-dire les paires de partitions $(\zeta,\xi )$ telles que $\zeta$ soit plus fine que $\xi$. Comme dans le contexte classique (dit univarié), sous des hypothèses d’échangeabilité et de branchement, nous caractérisons la mesure de saut des processus de fragmentation emboîtés en termes de coefficients d’érosion et de mesures de dislocation. Les sauts d’une fragmentation emboîtée peuvent être de plusieurs natures différentes : nous distinguons trois formes d’érosions et deux formes de dislocations, l’une d’elles étant spécifique au contexte des partitions emboîtées et étant générée par un processus de pots de peinture bivarié.