A Central Limit Theorem for Wasserstein type distances between two distinct univariate distributions

Abstract

In this article we study the natural nonparametric estimator of a Wasserstein type cost between two distinct continuous distributions $F$ and $G$ on $\mathbb{R}$. The estimator is based on the order statistics of a sample having marginals $F$, $G$ and any joint distribution. We prove a central limit theorem under general conditions relating the tails and the cost function. In particular, these conditions are satisfied by Wasserstein distances of order $p>1$ and compatible classical probability distributions.

Dans cet article nous étudions l’estimateur non paramétrique naturel d’un coût de type Wasserstein entre deux lois $F$ et $G$ distinctes et continues sur $\mathbb{R}$. Cet estimateur est construit à partir des statistiques d’ordre d’un échantillon d’un couple quelconque de lois marginales $F$ et $G$. Nous démontrons un théorème limite central sous des conditions générales reliant les queues de distribution à la fonction de coût. En particulier, ces conditions sont satisfaites par les distances de Wasserstein d’ordre $p>1$ et les lois classiques compatibles.