Path-space moderate deviations for a Curie–Weiss model of self-organized criticality

Abstract

The dynamical Curie–Weiss model of self-organized criticality (SOC) was introduced in (Ann. Inst. Henri Poincaré Probab. Stat. 53 (2017) 658–678) and it is derived from the classical generalized Curie–Weiss by imposing a microscopic Markovian evolution having the distribution of the Curie–Weiss model of SOC (Ann. Probab. 44 (2016) 444–478) as unique invariant measure. In the case of Gaussian single-spin distribution, we analyze the dynamics of moderate fluctuations for the magnetization. We obtain a path-space moderate deviation principle via a general analytic approach based on convergence of non-linear generators and uniqueness of viscosity solutions for associated Hamilton–Jacobi equations. Our result shows that, under a peculiar moderate space-time scaling and without tuning external parameters, the typical behavior of the magnetization is critical.

Le modèle de Curie–Weiss de criticalité auto-organisée dynamique a été construit dans (Ann. Inst. Henri Poincaré Probab. Stat. 53 (2017) 658–678) à partir du modèle de Curie–Weiss généralisé. Il s’agit d’un processus de Markov continu dont l’unique mesure invariante est la loi du modèle de Curie–Weiss de criticalité auto-organisée (Ann. Probab. 44 (2016) 444–478). Dans le cas Gaussien, nous étudions les fluctuations modérées de la magnétisation. Nous obtenons un principe de déviations modérées dans l’espace des chemins en utilisant une approche analytique basée sur la convergence de générateurs non-linéaires et sur l’unicité des solutions de viscosité pour des équations de Hamilton–Jacobi associées. Notre résultat montre que, dans une certaine échelle de temps modérée et sans intervention de paramètres extérieurs, le comportement critique de la magnétisation est critique.