On the boundary of the zero set of super-Brownian motion and its local time

Abstract

If $X(t,x)$ is the density of one-dimensional super-Brownian motion, we prove that

\[\operatorname{dim}\bigl(\partial\bigl\{x:X(t,x)>0\bigl\}\bigl)=2-2\lambda_{0}\in(0,1)\quad\text{a.s. on }\{X_{t}\neq0\},\] where $-\lambda_{0}\in(-1,-1/2)$ is the lead eigenvalue of a killed Ornstein–Uhlenbeck process. This confirms a conjecture of Mueller, Mytnik and Perkins (Ann. Probab. 45 (2017) 3481–3543) who proved the above with positive probability. To establish this result we derive some new basic properties of a boundary local time recently introduced by one of us (Hughes), and analyze the behaviour of $X(t,\cdot)$ near the upper edge of its support. Numerical estimates of $\lambda_{0}$ suggest that the above Hausdorff dimension is approximately $0.224$.

Si l’on note $X(t,x)$ la densité du super-mouvement brownien de dimension $1$, nous montrons que

\[\operatorname{dim}\bigl(\partial\bigl\{x:X(t,x)>0\bigl\}\bigl)=2-2\lambda_{0}\in(0,1)\quad\text{p.s. sur }\{X_{t}\neq0\},\] ou $-\lambda_{0}\in(-1,-1/2)$ est la valeur propre dominante d’un processus d’Ornstein–Uhlenbeck tué. Ceci confirme une conjecture de Mueller, Mytnik et Perkins (Ann. Probab. 45 (2017) 3481–3543), qui avaient montré que cette propriété a lieu avec probabilité strictement positive. Pour démontrer ce résultat, nous établissons quelques propriétés de base d’un temps local de bord introduit récemment par T. Hughes, et nous analysons le comportement de $X(t,\cdot)$ près de la borne supérieure de son support. Des simulations numériques de $\lambda_{0}$ suggèrent que la dimension de Hausdorff ci-dessus est approximativement $0{,}224$.