Reversibility of the non-backtracking random walk

Abstract

Let $G$ be a connected graph of uniformly bounded degree. A $k$ non-backtracking random walk ($k$-NBRW) $(X_{n})_{n=0}^{\infty}$ on $G$ evolves according to the following rule: Given $(X_{n})_{n=0}^{s}$, at time $s+1$ the walk picks at random some edge which is incident to $X_{s}$ that was not crossed in the last $k$ steps and moves to its other end-point. If no such edge exists then it makes a simple random walk step. Assume that for some $R>0$ every ball of radius $R$ in $G$ contains a cycle. We show that under some “nice” random time change the $1$-NBRW becomes reversible. This is used to prove that it is recurrent iff the simple random walk is recurrent. A similar result is proved for every $k$ under stronger assumptions in general, and with no assumptions for Cayley graphs of finitely generated Abelian groups.

Soit $G$ un graphe connexe dont les degrés sont uniformément bornés. La marche aléatoire $k$ non-rebroussante ($k$-NBRW) sur $G$ évolue de la manière suivante: sachant $(X_{n})_{n=0}^{s}$, l’état $X_{s+1}$ est obtenu en choisissant uniformément au hasard une arête incidente à $X_{s}$ qui n’a pas été empruntée durant les $k$ mouvements précédents, et en l’empruntant. Si toutes les arêtes incidentes à $X_{s}$ ont été empruntées durant les $k$ mouvements précédents, on choisit une arête incidente à $X_{s}$ uniformément au hasard. Supposons que toute boule de rayon $R$ dans $G$ contient un cycle. Alors nous montrons que, sous un changement de temps judicieux, la $1$-NBRW devient réversible. Nous en déduisons que cette marche est récurrente si et seulement si la marche aléatoire simple l’est aussi. Un résultat similaire est établi pour tout $k$, sous des hypothèses supplémentaires en général, mais sans aucune hypothèse dans le cas des graphes de Cayley de groupes abéliens finiment engendrés.