On time scales and quasi-stationary distributions for multitype birth-and-death processes

Abstract

We consider a class of birth-and-death processes describing a population made of $d$ sub-populations of different types which interact with one another. The state space is $\mathbb{Z}^{d}_{+}$ (unbounded). We assume that the population goes almost surely to extinction, so that the unique stationary distribution is the Dirac measure at the origin. These processes are parametrized by a scaling parameter $K$ which can be thought as the order of magnitude of the total size of the population at time $0$. For any fixed finite time span, it is well-known that such processes, when renormalized by $K$, are close, in the limit $K\to+\infty$, to the solutions of a certain differential equation in $\mathbb{R}_{+}^{d}$ whose vector field is determined by the birth and death rates. We consider the case where there is a unique attractive fixed point (off the boundary of the positive orthant) for the vector field (while the origin is repulsive). What is expected is that, for $K$ large, the process will stay in the vicinity of the fixed point for a very long time before being absorbed at the origin. To precisely describe this behavior, we prove the existence of a quasi-stationary distribution (qsd, for short). In fact, we establish a bound for the total variation distance between the process conditioned to non-extinction before time $t$ and the qsd. This bound is exponentially small in $t$, for $t\gg\log K$. As a by-product, we obtain an estimate for the mean time to extinction in the qsd. We also quantify how close is the law of the process (not conditioned to non-extinction) either to the Dirac measure at the origin or to the qsd, for times much larger than $\log K$ and much smaller than the mean time to extinction, which is exponentially large as a function of $K$. Let us stress that we are interested in what happens for finite $K$. We obtain results much beyond what large deviation techniques could provide.

Nous considérons une classe de processus de naissance-et-mort décrivant une population constituée de $d$ sous-populations de types différents qui intéragissent entre elles. L’espace d’état est $\mathbb{Z}^{d}_{+}$ (il est donc non borné). Nous supposons que la population s’éteint presque sûrement, de sorte que l’unique distribution de probabilité stationnaire est la masse de Dirac à l’origine. Nous faisons dépendre ces processus d’un paramètre d’échelle $K$ qu’on peut interpréter comme l’ordre de grandeur de la taille totale de la population au temps $0$. Etant donné un intervalle de temps, il est bien connu que de tels processus, normalisés par $K$, sont proches, dans la limite $K\to+\infty$, des solutions d’une certaine équation différentielle dans $\mathbb{R}_{+}^{d}$ dont le champ de vecteurs est déterminé par les taux de naissance et de mort du processus. Nous considérons le cas où le champ de vecteurs possède un unique point fixe attractif à l’intérieur de l’orthant positif, tandis que l’origine est un point fixe répulsif. On s’attend à ce que, pour $K$ grand, le processus reste dans le voisinage du point fixe attractif pendant très longtemps avant d’être absorbé à l’origine. Afin de décrire précisément ce comportement, nous démontrons l’existence d’une distribution quasi-stationnaire (dqs, en abrégé). Nous établissons une borne pour la distance en variation totale entre le processus conditionné à ne pas s’éteindre avant le temps $t$ et la dqs. Cette borne est exponentiellement petite en $t$ pour $t\gg\log K$. En particulier, nous obtenons une estimation du temps moyen d’extinction dans la dqs. Nous quantifions également la distance entre le processus (non conditionné à la non-extinction) et une certaine combinaison convexe de la masse de Dirac à l’origine et de la dqs, ceci pour des temps beaucoup plus grands que $\log K$ et beaucoup plus petits que le temps moyen d’extinction, qui est exponentiellement grand en $K$. Insistons sur le fait que nous sommes intéressés par ce qui se passe pour $K$ fini. Nous obtenons ainsi des résultats hors de portée des techniques de grandes déviations.