The Circular Law for random regular digraphs

Abstract

Let $\log^{C}n\le d\le n/2$ for a sufficiently large constant $C>0$ and let $A_{n}$ denote the adjacency matrix of a uniform random $d$-regular directed graph on $n$ vertices. We prove that as $n$ tends to infinity, the empirical spectral distribution of $A_{n}$, suitably rescaled, is governed by the Circular Law. A key step is to obtain quantitative lower tail bounds for the smallest singular value of additive perturbations of $A_{n}$.

Soit $\log^{C}n\le d\le n/2$ pour une constante suffisamment grande $C>0$. Notons $A_{n}$ la matrice d’adjacence d’un graphe dirigé aléatoire $d$-régulier sur $n$ sommets. Nous montrons que lorsque $n$ tend vers l’infini, la distribution empirique des valeurs propres de $A_{n}$, convenablement normalisée, suit la loi du cercle. Une étape cruciale consiste à obtenir une borne inférieure quantitative asymptotique pour la plus petite valeur singulière de perturbations additives de $A_{n}$.