Local fluctuations of critical Mandelbrot cascades

Abstract

We investigate so-called generalized Mandelbrot cascades at the freezing (critical) temperature. It is known that, after a proper rescaling, a sequence of multiplicative cascades converges weakly to some continuous random measure. Our main question is how the limiting measure $\mu$ fluctuates. For any given point $x$, denoting by $B_{n}(x)$ the ball of radius $2^{-n}$ centered around $x$, we present optimal lower and upper estimates of $\mu(B_{n}(x))$ as $n\to\infty$.

Nous étudions les cascades de Mandelbrot généralisées à la température (critique) de freezing. Il est connu qu’après une mise à l’échelle appropriée, une telle suite de cascades multiplicatives converge faiblement vers une certaine mesure aléatoire continue. La question est alors de savoir à quel point la mesure limite $\mu$ fluctue. Pour tout point $x$ donné, et en notant $B_{n}(x)$ la boule de rayon $2^{-n}$ centrée en $x$, nous présentons des bornes supérieures et inférieures optimales pour $\mu(B_{n}(x))$ lorsque $n\to\infty$.