Large deviations for the two-dimensional stochastic Navier–Stokes equation with vanishing noise correlation

Abstract

We are dealing with the validity of a large deviation principle for the two-dimensional Navier–Stokes equation, with periodic boundary conditions, perturbed by a Gaussian random forcing. We are here interested in the regime where both the strength of the noise and its correlation are vanishing, on a length scale $\epsilon$ and $\delta(\epsilon)$, respectively, with $0<\epsilon,\delta(\epsilon)\ll1$. Depending on the relationship between $\epsilon$ and $\delta(\epsilon)$ we will prove the validity of the large deviation principle in different functional spaces.

Nous considérons les équations de Navier–Stokes avec conditions aux limites périodiques et perturbées par une force aléatoire gaussienne et démontrons un principe de grande déviation. Le régime étudié est celui-ci où l’amplitude du bruit et sa corrélation tendent vers zéro aux vitesses $\epsilon$ et $\delta(\epsilon)$, avec $0<\epsilon,\delta(\epsilon)\ll1$. Le principe de grande déviation est démontré dans différent espaces fonctionnels selon le comportement $\delta(\epsilon)$ en fonction de $\epsilon$.