Products of random matrices from polynomial ensembles

Abstract

Very recently we have shown that the spherical transform is a convenient tool for studying the relation between the joint density of the singular values and that of the eigenvalues for bi-unitarily invariant random matrices. In the present work we discuss the implications of these results for products of random matrices. In particular, we derive a transformation formula for the joint densities of a product of two independent bi-unitarily invariant random matrices, the first from a polynomial ensemble and the second from a polynomial ensemble of derivative type. This allows us to re-derive and generalize a number of recent results in random matrix theory, including a transformation formula for the kernels of the corresponding determinantal point processes. Starting from these results, we construct a continuous family of random matrix ensembles interpolating between the products of different numbers of Ginibre matrices and inverse Ginibre matrices. Furthermore, we make contact to the asymptotic distribution of the Lyapunov exponents of the products of a large number of bi-unitarily invariant random matrices of fixed dimension.

Très récemment nous avons montré que la transformée sphérique est un outil pratique pour étudier la relation entre la densité conjointe des valeurs singulières et celle des valeurs propres pour des matrices aléatoires bi-unitairement invariantes. Dans le travail présent, nous discutons les implications de ces résultats pour les produits de matrices aléatoires. En particulier, nous dérivons une formule de transformation pour les densités conjointes d’un produit de deux matrices aléatoires bi-unitairement invariantes indépendantes, la première d’un ensemble polynomial et la seconde d’un ensemble polynomial de type dérivé. Cela nous permet de redériver et de généraliser certains résultats récents dans la théorie des matrices aléatoires, y compris une formule de transformation pour les noyaux des processus ponctuels déterminantals associés. A partir de ces résultats, nous construisons une famille continue d’ensembles de matrices aléatoires interpolant entre les produits de différents nombres de matrices de Ginibre et de matrices de Ginibre inverses. De plus, nous établissons un lien avec la distribution asymptotique des exposants de Lyapunov des produits d’un grand nombre de matrices aléatoires bi-unitairement invariantes de dimension fixe.