Scaling limits of stochastic processes associated with resistance forms

Abstract

We establish that if a sequence of spaces equipped with resistance metrics and measures converge with respect to the Gromov–Hausdorff-vague topology, and a certain non-explosion condition is satisfied, then the associated stochastic processes also converge. This result generalises previous work on trees, fractals, and various models of random graphs. We further conjecture that it will be applicable to the random walk on the incipient infinite cluster of critical bond percolation on the high-dimensional integer lattice.

Nous établissons que si une suite d’espaces équipée des métriques de résistance et de mesures converge par rapport à la topologie de Gromov–Hausdorff-vague, et qu’une certaine condition de non explosion est satisfaite, alors les processus stochastiques associés convergent également. Ces résultats généralisent des travaux précédents sur les arbres, fractals et divers modèles de graphes aléatoires. De plus nous conjecturons que cela devrait s’appliquer à la marche aléatoire sur l’amas de percolation par arêtes au point critique conditionné à être infini sur les réseaux entiers de grande dimension.