Construction of Malliavin differentiable strong solutions of SDEs under an integrability condition on the drift without the Yamada–Watanabe principle

Abstract

In this paper we aim at employing a compactness criterion of Da Prato, Malliavin, Nualart (C. R. Math. Acad. Sci. Paris 315 (1992) 1287–1291) for square integrable Brownian functionals to construct strong solutions of SDE’s under an integrability condition on the drift coefficient. The obtained solutions turn out to be Malliavin differentiable and are used to derive a Bismut–Elworthy–Li formula for solutions of the Kolmogorov equation. We emphasise that our approach exhibits high flexibility to study a variety of other types of stochastic (partial) differential equations as e.g. stochastic differential equations driven by fractional Brownian motion.

Dans cet article, nous cherchons à utiliser un critère de compacité de Da Prato, Malliavin, Nualart pour les fonctionnelles browniennes de carré intégrable pour construire des solutions fortes d’EDS sous une condition d’intégrabilité sur le coefficient de dérive. Les solutions obtenues se révèlent être Malliavin-différentiables et sont utilisées pour dériver une formule Bismut–Elworthy–Li pour des solutions de l’équation de Kolmogorov. Nous soulignons que notre approche présente une grande souplesse pour étudier une variété d’autres types d’équations différentielles stochastiques (aux dérivées partielles) comme par exemple des équations différentielles stochastiques conduites par un mouvement brownien fractionnaire.