Estimating the extremal index through local dependence

Abstract

The extremal index is an important parameter in the characterization of extreme values of a stationary sequence. Our new estimation approach for this parameter is based on the extremal behavior under the local dependence condition D$^{(k)}$($u_{n}$). We compare a process satisfying one of this hierarchy of increasingly weaker local mixing conditions with a process of cycles satisfying the D$^{(2)}$($u_{n}$) condition. We also analyze local dependence within moving maxima processes and derive a necessary and sufficient condition for D$^{(k)}$($u_{n}$). In order to evaluate the performance of the proposed estimators, we apply an empirical diagnostic for local dependence conditions, we conduct a simulation study and compare with existing methods. An application to a financial time series is also presented.

L’indice extrémal est un paramètre important pour la caractérisation des valeurs extrêmes d’une séquence stationnaire. Notre nouvelle approche d’estimation de ce paramètre est basée sur le comportement extrême sous la condition de dépendance locale D$^{(k)}$($u_{n}$). Nous comparons un processus satisfaisant une des conditions dans la famille hiérarchique des conditions de mélange local avec un processus de cycles satisfaisant la condition D$^{(2)}$($u_{n}$). Nous analysons aussi la dépendance locale à l’intérieur du processus des maxima mobiles et établissons une condition nécessaire et suffisante pour D$^{(k)}$($u_{n}$). Dans le but d’estimer les performances des estimateurs proposés, nous appliquons un diagnostique empirique des dépendances locales, nous conduisons une étude par simulation et comparons avec les méthodes existantes. Une application aux séries temporelles financières est aussi présentée.