Level-set percolation for the Gaussian free field on a transient tree

Abstract

We investigate level-set percolation of the Gaussian free field on transient trees, for instance on super-critical Galton–Watson trees conditioned on non-extinction. Recently developed Dynkin-type isomorphism theorems provide a comparison with percolation of the vacant set of random interlacements, which is more tractable in the case of trees. If $h_{*}$ and $u_{*}$ denote the respective (non-negative) critical values of level-set percolation of the Gaussian free field and of the vacant set of random interlacements, we show here that $h_{*}<\sqrt{2u}_{*}$ in a broad enough set-up, but provide an example where $0=h_{*}=u_{*}$ occurs. We also obtain some sufficient conditions ensuring that $h_{*}>0$.

Nous étudions la percolation de niveau pour le champ libre gaussien sur des arbres transients, par exemple sur des arbres de Galton–Watson surcritiques conditionnés à survivre. Des théorèmes de type isomorphisme de Dynkin récemment obtenus offrent un outil de comparaison avec la percolation de l’ensemble vacant pour les entrelacs aléatoires, qui se trouve être plus simple à étudier dans le cas des arbres. Si $h_{*}$ et $u_{*}$ désignent les valeurs critiques respectives de la percolation de niveau du champ libre gaussien, et de l’ensemble vacant des entrelacs aléatoires, nous montrons dans un cadre assez général que $h_{*}<\sqrt{2u}_{*}$, mais présentons un exemple pour lequel on a les égalités $0=h_{*}=u_{*}$. Nous obtenons aussi des conditions suffisantes qui impliquent que $h_{*}>0$.