A discrete log-Sobolev inequality under a Bakry–Émery type condition

Abstract

We consider probability mass functions $V$ supported on the positive integers using arguments introduced by Caputo, Dai Pra and Posta, based on a Bakry–Émery condition for a Markov birth and death operator with invariant measure $V$. Under this condition, we prove a new modified logarithmic Sobolev inequality, generalizing and strengthening results of Wu, Bobkov and Ledoux, and Caputo, Dai Pra and Posta. We show how this inequality implies results including concentration of measure and hypercontractivity, and discuss how it may extend to higher dimensions.

Nous considérons des distributions de probabilité $V$ à support dans l’ensemble des entiers positifs, en utilisant des arguments introduits par Caputo, Dai Pra et Posta, basés sur une condition de Bakry–Émery pour une chaîne de naissance et mort avec mesure invariante $V$. Sous cette condition, nous prouvons une nouvelle inégalité de Sobolev logarithmique modifiée, en généralisant et améliorant des résultats de Wu, de Bobkov et Ledoux, et de Caputo, Dai Pra et Posta. Nous montrons comment cette inégalité implique des résultats tels que la concentration de la mesure et l’hypercontractivité, et nous discutons d’une extension possible aux dimensions supérieures.