One-dependent coloring by finitary factors

Abstract

Holroyd and Liggett recently proved the existence of a stationary $1$-dependent $4$-coloring of the integers, the first stationary $k$-dependent $q$-coloring for any $k$ and $q$, and arguably the first natural finitely dependent process that is not a block factor of an i.i.d. process. That proof specifies a consistent family of finite-dimensional distributions, but does not yield a probabilistic construction on the whole integer line. Here we prove that the process can be expressed as a finitary factor of an i.i.d. process. The factor is described explicitly, and its coding radius obeys power-law tail bounds.

Holroyd et Liggett ont récemment prouvé l’existence d’un $4$-coloriage stationnaire et $1$-dépendant des entiers, le premier $q$-coloriage stationnaire et $k$-dépendant pour tous $k$ et $q$, et probablement le premier processus naturel à dépendance finie qui ne corresponde pas à un facteur par blocs d’un processus i.i.d. Cette preuve définit une famille consistante de distributions fini-dimensionnelles, mais n’offre pas de construction probabiliste sur tous les entiers. On montre ici que l’on peut exprimer le processus comme un facteur par blocs d’un processus i.i.d. Le facteur a une description explicite, et son rayon de codage satisfait des bornes de type loi de puissance.