The high-temperature behavior for the directed polymer in dimension $1+2$

Abstract

We investigate the high-temperature behavior of the directed polymer model in dimension $1+2$. More precisely we study the difference $\Delta\mathtt{F}(\beta)$ between the quenched and annealed free energies for small values of the inverse temperature $\beta$. This quantity is associated to localization properties of the polymer trajectories, and is related to the overlap fraction of two replicas. Adapting recent techniques developed by the authors in the context of the disordered pinning model (Berger and Lacoin, 2015), we identify the sharp asymptotic high temperature behavior

\[\lim_{\beta\to0}\beta^{2}\log\Delta \mathtt{F}(\beta)=-\pi.\]

Nous analysons le comportement du modèle de polymère dirigé en dimension $1+2$, dans la limite de haute température. Plus précisément, nous étudions la différence $\Delta\mathtt{F}(\beta)$ entre les énergies libres gelées et recuites, pour les petites valeurs de la température inverse $\beta$. Cette quantité est associée à des propriétés de localisation des trajectoires du polymère, et est reliée à la fraction de superposition de deux répliques. En adaptant des techniques récemment développées par les auteurs dans le contexte du modèle d’accrochage désordonné (Berger et Lacoin, 2015), nous identifions le comportement asymptotique précis dans la limite de haute température

\[\lim_{\beta\to0}\beta^{2}\log\Delta\mathtt{F}(\beta)=-\pi.\]