Hammersley’s harness process: Invariant distributions and height fluctuations

Abstract

We study the invariant distributions of Hammersley’s serial harness process in all dimensions and height fluctuations in one dimension. Subject to mild moment assumptions there is essentially one unique invariant distribution, and all other invariant distributions are obtained by adding harmonic functions of the averaging kernel. We identify one Gaussian case where the invariant distribution is i.i.d. Height fluctuations in one dimension obey the stochastic heat equation with additive noise (Edwards–Wilkinson universality). We prove this for correlated initial data subject to fast enough polynomial decay of strong mixing coefficients, including process-level tightness in the Skorohod space of space–time trajectories.

Nous étudions la mesure invariante du processus de harnais de Hammersley en dimension arbitraire et les fluctuations de la hauteur en dimension un. Sous des hypothèses douces sur les moments, il y a essentiellement une mesure invariante unique, et toutes les autres mesures invariantes sont obtenues par l’addition de fonctions harmoniques du noyau. Nous identifions un cas Gaussien ou la mesure invariante est i.i.d. Les fluctuations de la hauteur en dimension un obéissent à l’équation stochastique de chaleur à bruit additif (universalité d’Edwards–Wilkinson). Nous démontrons ce résultat dans le cas de données initiales corrélées dont les coefficients de mélange fort décroissent assez rapidement, y compris l’étroitesse au niveau du processus dans l’espace de Skorohod de trajectoires spatio-temporelles.