Convergence in law of the maximum of nonlattice branching random walk

Abstract

Let $\eta^{*}_{n}$ denote the maximum, at time $n$, of a nonlattice one-dimensional branching random walk $\eta_{n}$ possessing (enough) exponential moments. In a seminal paper, Aïdekon (Ann. Probab. 41 (2013) 1362–1426) demonstrated convergence of $\eta^{*}_{n}$ in law, after centering, and gave a representation of the limit. We give here a shorter proof of this convergence by employing reasoning motivated by Bramson, Ding and Zeitouni (Convergence in law of the maximum of the two-dimensional discrete Gaussian free field; preprint). Instead of spine methods and a careful analysis of the renewal measure for killed random walks, our approach employs a modified version of the second moment method that may be of independent interest. We indicate the modifications needed in order to handle lattice random walks.

Soit $\eta_{n}^{*}$ le maximum, à l’instant $n$, d’une marche aléatoire branchante unidimensionnelle qui n’est pas supportée sur un réseau et qui possède suffisamment de moments exponentiels. Dans un article fondateur, Aïdekon (Ann. Probab. 41 (2013) 1362–1426) a démontré la convergence de $\eta_{n}^{*}$, après centrage, en distribution, et a donné une représentation de la limite. Nous donnons ici une preuve plus courte de cette convergence en employant un raisonnement motivé par Bramson, Ding et Zeitouni (Convergence in law of the maximum of the two-dimensional discrete Gaussian free field; preprint). Au lieu des méthodes spinales et d’une analyse de la mesure de renouvellement pour la marche aléatoire tuée, notre méthode utilise une version modifiée de la méthode du deuxième moment, qui peut être d’intérêt indépendant. Nous indiquons les modifications nécessaire pour traiter les marches aléatoires sur un réseau.