Stability of the shadow projection and the left-curtain coupling

Abstract

The (left-)curtain coupling, introduced by Beiglböck and the author is an extreme point of the set of “martingale” couplings between two real probability measures in convex order. It enjoys remarkable properties with respect to order relations and a minimisation problem inspired by the theory of optimal transport. An explicit representation and a number of further noteworthy attributes have recently been established by Henry-Labordère and Touzi. In the present paper we prove that the curtain coupling depends continuously on the prescribed marginals and quantify this with Lipschitz estimates.

Le couplage rideau (gauche), introduit par Beiglböck et Juillet est un point extrémal de l’ensemble des couplages « martingale » entre deux mesures de probabilité réelles prises dans l’ordre convexe. Ce couplage possède des propriétés remarquables quant aux relations d’ordre entre mesures d’une part, et par rapport à un problème de minimisation issu de la théorie du transport optimal d’autre part. Une représentation explicite a été récemment mise en évidence par Henry-Labordère et Touzi. Nous démontrons dans cet article que le couplage rideau dépend continument des mesures marginales prescrites et nous quantifions cette dépendance à l’aide d’inégalités lipschitziennes.