Moment approach for singular values distribution of a large auto-covariance matrix

Abstract

Let $(\varepsilon_{t})_{t>0}$ be a sequence of independent real random vectors of $p$-dimension and let $X_{T}=\sum_{t=s+1}^{s+T}\varepsilon_{t}\varepsilon^{*}_{t-s}/T$ be the lag-$s$ ($s$ is a fixed positive integer) auto-covariance matrix of $\varepsilon_{t}$. Since $X_{T}$ is not symmetric, we consider its singular values, which are the square roots of the eigenvalues of $X_{T}X^{*}_{T}$. Using the method of moments, we are able to investigate the limiting behaviors of the eigenvalues of $X_{T}X^{*}_{T}$ in two aspects. First, we show that the empirical spectral distribution of its eigenvalues converges to a nonrandom limit $F$, which is a result previously developed in (J. Multivariate Anal. 137 (2015) 119–140) using the Stieltjes transform method. Second, we establish the convergence of its largest eigenvalue to the right edge of $F$.

Soit $(\varepsilon_{t})_{t>0}$ une suite de vecteurs aléatoires indépendants de $\mathbb{R}^{p}$ et $X_{T}=\sum_{t=s+1}^{s+t}\varepsilon_{t}\varepsilon_{t-s}^{*}/T$ la matrice d’autocovariance empirique d’ordre $s$ de la suite ($s$ est un ordre fixé). Comme $X_{T}$ n’est pas symétrique, nous considérons ses valeurs singulières, c’est-à-dire les racines carrées des valeurs propres de la matrice aléatoire $X_{T}X_{T}^{*}$. En utilisant la méthode des moments, nous établissons les propriétés limites de ces valeurs singulières dans deux directions. D’abord, nous démontrons que leur distribution empirique converge vers une limite déterministe $F$, retrouvant ainsi un résultat établi dans (J. Multivariate Anal. 137 (2015) 119–140) par la méthode de la transformée de Stieltjes. Ensuite, nous montrons que la plus grande de ces valeurs singulières converge vers le point extrémal du support de $F$.