Estimate for $P_{t}D$ for the stochastic Burgers equation

Abstract

We consider the Burgers equation on $H=L^{2}(0,1)$ perturbed by white noise and the corresponding transition semigroup $P_{t}$. We prove a new formula for $P_{t}D_{x}\varphi$ which depends on $\varphi$ but not on its derivative. This formula allows us to provide a bound on $D_{x}\varphi$ in $L^{2}(H,\nu)$ where $\nu$ is the invariant measure of $P_{t}$. Some new consequences for the invariant measure $\nu$ of $P_{t}$ are discussed as its Fomin differentiability and an integration by parts formula which generalises the classical one for Gaussian measures.

Nous considèrons l’équation de Burgers stochastique sur $H=L^{2}(0,1)$ dirigée par un bruit blanc, de semi-groupe de transition $P_{t}$, et démontrons une nouvelle formule qui permet d’exprimer $P_{t}D_{x}\varphi$ en terme de $\varphi$ mais pas de sa différentielle. Celle-ci nous permet d’obtenir des estimations sur $D_{x}\varphi$ dans $L^{2}(H,\nu)$, où $\nu$ est la mesure invariante de $P_{t}$, dont découlent quelques conséquences telles que l’existence de dérivées de Fomin pour $\nu$ ou encore une formule d’intégration par partie qui généralise celle bien connue pour les mesures gaussiennes.