Inviscid limits for a stochastically forced shell model of turbulent flow

Abstract

We establish the anomalous mean dissipation rate of energy in the inviscid limit for a stochastic shell model of turbulent fluid flow. The proof relies on viscosity independent bounds for stationary solutions and on establishing ergodic and mixing properties for the viscous model. The shell model is subject to a degenerate stochastic forcing in the sense that noise acts directly only through one wavenumber. We show that it is hypo-elliptic (in the sense of Hörmander) and use this property to prove a gradient bound on the Markov semigroup.

Nous étudions le taux anormal de la dissipation moyenne de l’énergie dans la limite non visqueuse d’un modèle en couche de fluide turbulent. La preuve se base sur des estimations indépendantes de la viscosité pour des solutions stationnaires, ainsi que sur des propriétés ergodiques et de mélange pour le modèle visqueux. Le modèle en couche subit un forçage aléatoire dégénéré, c’est à dire que le bruit n’agit seulement que sur un mode. Nous montrons que le système est hypoelliptique au sens d’Hörmander et utilisons cette propriété pour prouver une borne sur le gradient du semigroupe de Markov.