Slowdown in branching Brownian motion with inhomogeneous variance

Abstract

We consider the distribution of the maximum $M_{T}$ of branching Brownian motion with time-inhomogeneous variance of the form $\sigma^{2}(t/T)$, where $\sigma(\cdot)$ is a strictly decreasing function. This corresponds to the study of the time-inhomogeneous Fisher–Kolmogorov–Petrovskii–Piskunov (F-KPP) equation $F_{t}(x,t)=\sigma^{2}(1-t/T)F_{xx}(x,t)/2+g(F(x,t))$, for appropriate nonlinearities $g(\cdot)$. Fang and Zeitouni (J. Stat. Phys. 149 (2012) 1–9) showed that $M_{T}-v_{\sigma}T$ is negative of order $T^{1/3}$, where $v_{\sigma}=\int_{0}^{1}\sigma(s)\,\mathrm{d}s$. In this paper, we show the existence of a function $m'_{T}$, such that $M_{T}-m'_{T}$ converges in law, as $T\rightarrow\infty$. Furthermore, $m'_{T}=v_{\sigma}T-w_{\sigma}T^{1/3}-\sigma(1)\log T+O(1)$ with $w_{\sigma}=2^{-1/3}\alpha_{1}\int_{0}^{1}\sigma(s)^{1/3}|\sigma'(s)|^{2/3}\,\mathrm{d}s$. Here, $-\alpha_{1}=-2.33811\ldots$ is the largest zero of the Airy function $\operatorname{Ai}$. The proof uses a mixture of probabilistic and analytic arguments.

Nous étudions la loi du maximum $M_{T}$ d’un mouvement brownien branchant avec une variance inhomogène en temps de la form $\sigma^{2}(t/T)$, où $\sigma(\cdot)$ est une fonction strictement décroissante. Ceci correspond à étudier l’équation Fisher–Kolmogorov–Petrovskii–Piskunov (F-KPP) inhomogène en temps, $F_{t}(x,t)=\sigma^{2}(1-t/T)F_{xx}(x,t)/2+g(F(x,t))$, pour des nonlinéarités $g(\cdot)$ appropriées. Fang et Zeitouni (J. Stat. Phys. 149 (2012) 1–9) ont montré que $M_{T}-v_{\sigma}T$ est negatif de l’ordre $T^{1/3}$, où $v_{\sigma}=\int_{0}^{1}\sigma(s)\,\mathrm{d}s$. Dans cet article, nous montrons l’existence d’une fonction $m'_{T}$ telle que $M_{T}-m'_{T}$ converge en loi quand $T\rightarrow\infty$. De plus, $m'_{T}=v_{\sigma}T-w_{\sigma}T^{1/3}-\sigma(1)\log T+O(1)$ avec $w_{\sigma}=2^{-1/3}\alpha_{1}\int_{0}^{1}\sigma(s)^{1/3}|\sigma'(s)|^{2/3}\,\mathrm{d}s$. Ici, $-\alpha_{1}=-2.33811\ldots$ est la plus grande racine de la fonction d’Airy $\operatorname{Ai}$. La démonstration repose sur un mélange d’arguments probabilistes et analytiques.