Optimal transport between random measures

Abstract

We analyze the optimal transport problem between two equivariant random measures and derive sufficient conditions for the existence of a unique Monge solution. Moreover, we show that equivariance naturally appears in this context by proving that classical optimal couplings on bounded sets converge to the optimal coupling on the whole space. Finally, we derive sufficient conditions for the $L^{p}$ cost to be finite by introducing a suitable metric.

Nous analysons le problème du transport optimal entre deux mesures aléatoires et équivariantes et démontrons des conditions qui garantissent l’existence d’une solution de type Monge. En outre, nous démontrons que l’équivariance apparaît naturellement dans ce contexte en prouvant que les couplages optimaux classiques dans des ensembles bornés convergent vers le couplage optimal dans tout l’espace. Finalement nous démontrons des conditions suffisantes pour que le coût au sens $L^{p}$ soit fini en introduisant une métrique appropriée.