An exact asymptotic for the square variation of partial sum processes

Abstract

We establish an exact asymptotic formula for the square variation of certain partial sum processes. Let $\{X_{i}\}$ be a sequence of independent, identically distributed mean zero random variables with finite variance $\sigma^{2}$ and satisfying a moment condition $\mathbb{E}[|X_{i}|^{2+\delta}]<\infty$ for some $\delta>0$. If we let $\mathcal{P}_{N}$ denote the set of all possible partitions of the interval $[N]$ into subintervals, then we have that $\max_{\pi\in\mathcal{P}_{N}}\sum_{I\in\pi}|\sum_{i\in I}X_{i}|^{2}\sim2\sigma^{2}N\ln\ln(N)$ holds almost surely. This can be viewed as a variational strengthening of the law of the iterated logarithm and refines results of J. Qian on partial sum and empirical processes. When $\delta=0$, we obtain a weaker ‘in probability’ version of the result.

Nous établissons une formule asymptotique exacte pour la variation quadratique de certains processus de sommes partielles. Soit $\{X_{i}\}$ une suite de variables indépendantes et identiquement distribuées de moyenne nulle et de variance finie $\sigma^{2}$ satisfaisant une condition de moments $\mathbb{E}[|X_{i}|^{2+\delta}]<\infty$ pour un $\delta>0$. Soit $\mathcal{P}_{N}$ l’ensemble de toutes les partitions possibles de l’intervalle $[N]$ en sous-intervalles, alors nous montrons que presque sûrement $\max_{\pi\in\mathcal{P}_{N}}\sum_{I\in\pi}|\sum_{i\in I}X_{i}|^{2}\sim2\sigma^{2}N\ln\ln(N)$. Ceci peut être interprété comme une amélioration de la loi du logarithme itéré et précise les résultats de J. Qian sur les sommes partielles et les processus empiriques. Quand $\delta=0$, nous obtenons une version plus faible, en probabilité, de ce résultat.