Annales de l'Institut Henri Poincaré, Probabilités et Statistiques

Quantitative and qualitative Kac’s chaos on the Boltzmann’s sphere

Kleber Carrapatoso

Full-text: Open access

Abstract

We investigate the construction of chaotic probability measures on the Boltzmann’s sphere, which is the state space of the stochastic process of a many-particle system undergoing a dynamics preserving energy and momentum.

Firstly, based on a version of the local Central Limit Theorem (or Berry–Esseen theorem), we construct a sequence of probabilities that is Kac chaotic and we prove a quantitative rate of convergence. Then, we investigate a stronger notion of chaos, namely entropic chaos introduced in ( Kinet. Relat. Models 3 (2010) 85–122), and we prove, with quantitative rate, that this same sequence is also entropically chaotic.

Furthermore, we investigate more general class of probability measures on the Boltzmann’s sphere. Using the HWI inequality we prove that a Kac chaotic probability with bounded Fisher’s information is entropically chaotic and we give a quantitative rate. We also link different notions of chaos, proving that Fisher’s information chaos, introduced in (On Kac’s chaos and related problems (2012) Preprint), is stronger than entropic chaos, which is stronger than Kac’s chaos. We give a possible answer to ( Kinet. Relat. Models 3 (2010) 85–122), Open Problem 11, in the Boltzmann’s sphere’s framework.

Finally, applying our previous results to the recent results on propagation of chaos for the Boltzmann equation ( Invent. Math. 193 (2013) 1–147), we prove a quantitative rate for the propagation of entropic chaos for the Boltzmann equation with Maxwellian molecules.

Résumé

Nous étudions la construction de mesures de probabilité chaotiques sur la sphère de Boltzmann, qui est l’espace d’état du processus stochastique d’un système de particules subissant une dynamique en préservant l’énergie et la quantité de mouvement.

Premièrement, basé sur une version du Théorème Central Limite (ou théorème de Berry–Esseen) locale, nous construisons une suite de probabilités qui est chaotique au sens de Kac et nous prouvons un taux quantitatif de convergence. Ensuite, nous étudions une notion plus forte de chaos, le chaos entropique introduit dans ( Kinet. Relat. Models 3 (2010) 85–122), et nous prouvons, avec un taux quantitatif, que cette même suite est également entropie chaotique.

Par ailleurs, nous nous intéressons à des classes plus générale de mesures de probabilité sur la sphère de Boltzmann. En utilisant l’inégalité HWI nous montrons qu’une probabilité chaotique au sens de Kac qui possède l’information de Fisher bornée est entropie chaotique et nous donnons un taux quantitatif. Nous relions également les différentes notions de chaos, en montrant que le Fisher chaos, introduit dans (On Kac’s chaos and related problems (2012) Preprint), est plus fort que le chaos entropique, qui est plus fort que le chaos au sens de Kac. Nous donnons une réponse possible à ( Kinet. Relat. Models 3 (2010) 85–122), Open Problem 11, dans le cadre de la sphère de Boltzmann.

Finalement, en appliquant nos résultats précédents aux résultats récents sur la propagation du chaos pour l’équation de Boltzmann ( Invent. Math. 193 (2013) 1–147), nous démontrons un taux quantitatif pour la propagation du chaos entropique pour l’équation de Boltzmann avec des molécules maxwelliennes.

Article information

Source
Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist., Volume 51, Number 3 (2015), 993-1039.

Dates
Received: 22 June 2012
Revised: 6 June 2013
Accepted: 5 March 2014
First available in Project Euclid: 1 July 2015

Permanent link to this document
https://projecteuclid.org/euclid.aihp/1435759238

Digital Object Identifier
doi:10.1214/14-AIHP612

Mathematical Reviews number (MathSciNet)
MR3365971

Zentralblatt MATH identifier
1341.60122

Subjects
Primary: 76P05: Rarefied gas flows, Boltzmann equation [See also 82B40, 82C40, 82D05] 60G50: Sums of independent random variables; random walks 54C70: Entropy 82C40: Kinetic theory of gases

Keywords
Kac’s chaos Entropic chaos Fisher’s information chaos Many-particle jump process Entropy Fisher’s information Mean-field limit Central Limit Theorem Berry–Esseen HWI inequality Boltzmann equation

Citation

Carrapatoso, Kleber. Quantitative and qualitative Kac’s chaos on the Boltzmann’s sphere. Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 51 (2015), no. 3, 993--1039. doi:10.1214/14-AIHP612. https://projecteuclid.org/euclid.aihp/1435759238


Export citation

References

  • [1] F. Barthe, D. Cordero-Erausquin and B. Maurey. Entropy of spherical marginals and related inequalities. J. Math. Pures Appl. (9) 86 (2) (2006) 89–99.
  • [2] E. A. Carlen. Superadditivity of Fisher’s information and logarithmic Sobolev inequalities. J. Funct. Anal. 101 (1) (1991) 194–211.
  • [3] E. A. Carlen, M. C. Carvalho, J. Le Roux, M. Loss and C. Villani. Entropy and chaos in the Kac model. Kinet. Relat. Models 3 (1) (2010) 85–122.
  • [4] E. A. Carlen, M. C. Carvalho and M. Loss. Determination of the spectral gap for Kac’s master equation and related stochastic evolution. Acta Math. 191 (1) (2003) 1–54.
  • [5] E. A. Carlen, E. H. Lieb and M. Loss. A sharp analog of Young’s inequality on $\mathbb{S}^{N}$ and related entropy inequalities. J. Geom. Anal. 14 (3) (2004) 487–520.
  • [6] P. Diaconis and D. Freedman. A dozen de Finetti-style results in search of a theory. Ann. Inst. Henri Poincaré Probab. Stat. 23 (2, suppl.) (1987) 397–423.
  • [7] A. Einav. A counter-example to Cercignani’s conjecture for the $d$-dimensional Kac model. J. Stat. Phys. 148 (6) (2012) 1076–1103.
  • [8] M. Hauray and S. Mischler. On Kac’s chaos and related problems. Preprint, 2012, hal-00682782.
  • [9] M. Kac. Foundations of kinetic theory. In Proceedings of the Third Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability, 1954–1955, Vol. III 171–197. Univ. California Press, Berkeley and Los Angeles, 1956.
  • [10] J. Lott and C. Villani. Ricci curvature for metric measure spaces via optimal transport. Ann. of Math. (2) 169 (3) (2009) 903–991.
  • [11] S. Mischler. Introduction aux limites de champ moyen pour des systèmes de particules. Cours en ligne C.E.L. http://cel.archives-ouvertes.fr/cel-00576329/fr/.
  • [12] S. Mischler. Sur le programme de Kac (concernant les limites de champ moyen). Séminaire EDP-X, Décembre 2010.
  • [13] S. Mischler and C. Mouhot. Kac’s program in kinetic theory. Invent. Math. 193 (1) (2013) 1–147.
  • [14] S. Mischler, C. Mouhot and B. Wennberg. A new approach to quantitative chaos propagation for drift, diffusion and jump processes. Preprint, available at arXiv:1101.4727.
  • [15] F. Otto and C. Villani. Generalization of an inequality by Talagrand and links with the logarithmic Sobolev inequality. J. Funct. Anal. 173 (2) (2000) 361–400.
  • [16] A.-S. Sznitman. Topics in propagation of chaos. In École d’Été de Probabilités de Saint-Flour XIX – 1989 165–251. Lecture Notes in Math. 1464. Springer, Berlin, 1991.
  • [17] C. Villani. A review of mathematical topics in collisional kinetic theory. In Handbook of Mathematical Fluid Dynamics Vol. I 71–305. North-Holland, Amsterdam, 2002.
  • [18] C. Villani. Optimal Transport: Old and New. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences] 338. Springer, Berlin, 2009.