From a kinetic equation to a diffusion under an anomalous scaling

Abstract

A linear Boltzmann equation is interpreted as the forward equation for the probability density of a Markov process $(K(t),i(t),Y(t))$ on $(\mathbb{T} ^{2}\times\{1,2\}\times\mathbb{R} ^{2})$, where $\mathbb{T} ^{2}$ is the two-dimensional torus. Here $(K(t),i(t))$ is an autonomous reversible jump process, with waiting times between two jumps with finite expectation value but infinite variance. $Y(t)$ is an additive functional of $K$, defined as $\int_{0}^{t}v(K(s))\,\mathrm{d}s$, where $|v|\sim1$ for small $k$. We prove that the rescaled process $(N\ln N)^{-1/2}Y(Nt)$ converges in distribution to a two-dimensional Brownian motion. As a consequence, the appropriately rescaled solution of the Boltzmann equation converges to the solution of a diffusion equation.

Une équation de Boltzmann linéaire est interprétée comme équation de Fokker–Planck associée à la densité de probabilité d’un processus de Markov $(K(t),i(t),Y(t))$ sur $(\mathbb{T} ^{2}\times\{1,2\}\times\mathbb{R} ^{2})$, où $\mathbb{T} ^{2}$ est le tore bidimensionnel. Le processus Markovien $(K(t),i(t))$ est ici un processus de sauts réversible avec des temps d’attente entre deux sauts à moyenne finie mais variance infinie. $Y(t)$ est une fonctionnelle additive de $K$, définie par $Y(t)=\int_{0}^{t}v(K(s))\,\mathrm{d}s$, où $|v|\sim1$ pour $k$ petit. Nous prouvons que le processus $(N\ln N)^{-1/2}Y(Nt)$ converge en distribution vers un mouvement brownien bidimensionnel. En conséquence, et moyennant un changement d’échelle approprié, la solution de l’équation de Boltzmann converge vers celle d’ une équation de diffusion.