Annales de l'Institut Henri Poincaré, Probabilités et Statistiques

Uniform mixing time for random walk on lamplighter graphs

Júlia Komjáthy, Jason Miller, and Yuval Peres

Full-text: Open access

Abstract

Suppose that $\mathcal{G} $ is a finite, connected graph and $X$ is a lazy random walk on $\mathcal{G} $. The lamplighter chain $X^{\diamond}$ associated with $X$ is the random walk on the wreath product $\mathcal{G} ^{\diamond}=\mathbf{Z} _{2}\wr\mathcal{G} $, the graph whose vertices consist of pairs $(\underline{f} ,x)$ where $f$ is a labeling of the vertices of $\mathcal{G} $ by elements of $\mathbf{Z} _{2}=\{0,1\}$ and $x$ is a vertex in $\mathcal{G} $. There is an edge between $(\underline{f} ,x)$ and $(\underline{g} ,y)$ in $\mathcal{G} ^{\diamond}$ if and only if $x$ is adjacent to $y$ in $\mathcal{G} $ and $f_{z}=g_{z}$ for all $z\neq x,y$. In each step, $X^{\diamond}$ moves from a configuration $(\underline{f} ,x)$ by updating $x$ to $y$ using the transition rule of $X$ and then sampling both $f_{x}$ and $f_{y}$ according to the uniform distribution on $\mathbf{Z} _{2}$; $f_{z}$ for $z\neq x,y$ remains unchanged. We give matching upper and lower bounds on the uniform mixing time of $X^{\diamond}$ provided $\mathcal{G} $ satisfies mild hypotheses. In particular, when $\mathcal{G} $ is the hypercube $\mathbf{Z} _{2}^{d}$, we show that the uniform mixing time of $X^{\diamond}$ is $\varTheta(d2^{d})$. More generally, we show that when $\mathcal{G} $ is a torus $\mathbf{Z} _{n}^{d}$ for $d\geq3$, the uniform mixing time of $X^{\diamond}$ is $\varTheta(dn^{d})$ uniformly in $n$ and $d$. A critical ingredient for our proof is a concentration estimate for the local time of the random walk in a subset of vertices.

Résumé

Soit $\mathcal{G} $ un graphe connexe fini et $X$ une marche aléatoire fainéante sur $\mathcal{G} $. La chaîne de l’allumeur de réverbères $X^{\diamond}$ associée à $X$ est la marche aléatoire sur le groupe produit $\mathcal{G} ^{\diamond}=\mathbf{Z} _{2}\wr \mathcal{G} $, le graphe dont les sites sont des paires $(\underline{f} ,x)$ où $f$ est un label des sites de $\mathcal{G} $ par des éléments de $\mathbf{Z} _{2}=\{0,1\}$ et $x$ est un site de $\mathcal{G} $. Il existe une arête entre $(\underline{f} ,x)$ et $(\underline{g} ,y)$ dans $\mathcal{G} ^{\diamond}$ si et seulement si $x$ est adjacent à $y$ dans $\mathcal{G} $ et $f_{z}=g_{z}$ pour tout $z\neq x,y$. A chaque pas, $X^{\diamond}$ se déplace d’une configuration $(\underline{f} ,x)$ en mettant à jour $x$ vers $y$ par la règle de translation de $X$ et ensuite en mettant à jour à la fois $f_{x}$ et $f_{y}$ selon la distribution uniforme sur $\mathbf{Z} _{2}$; $f_{z}$ pour $z\neq x,y$ restant inchangé. Nous prouvons des bornes supérieures et inférieures équivalentes sur le temps de mélange uniforme de $X^{\diamond}$ sous des hypothèses faibles sur $\mathcal{G} $. En particulier quand $\mathcal{G} $ est l’hypercube $\mathbf{Z} _{2}^{d}$, nous montrons que le temps de mélange uniforme de $X^{\diamond}$ est $\varTheta(d2^{d})$. Plus généralement, nous montrons que quand $\mathcal{G} $ est le tore $\mathbf{Z} _{n}^{d}$ avec $d\geq 3$, le temps de mélange uniforme de $X^{\diamond}$ est $\varTheta(dn^{d})$ uniformément en $n$ et $d$. Un ingrédient crucial de notre preuve est une estimation de concentration pour le temps local d’une marche aléatoire dans un sous ensemble de sites.

Article information

Source
Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist., Volume 50, Number 4 (2014), 1140-1160.

Dates
First available in Project Euclid: 17 October 2014

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https://projecteuclid.org/euclid.aihp/1413555494

Digital Object Identifier
doi:10.1214/13-AIHP547

Mathematical Reviews number (MathSciNet)
MR3269988

Zentralblatt MATH identifier
1318.60053

Subjects
Primary: 60J10: Markov chains (discrete-time Markov processes on discrete state spaces) 60D05: Geometric probability and stochastic geometry [See also 52A22, 53C65] 37A25: Ergodicity, mixing, rates of mixing

Keywords
Random walk Uncovered set Lamplighter walk Mixing time

Citation

Komjáthy, Júlia; Miller, Jason; Peres, Yuval. Uniform mixing time for random walk on lamplighter graphs. Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 50 (2014), no. 4, 1140--1160. doi:10.1214/13-AIHP547. https://projecteuclid.org/euclid.aihp/1413555494


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