Almost everywhere convergence of convolution powers on compact Abelian groups

Abstract

It is well-known that a probability measure $\mu$ on the circle $\mathbb{T}$ satisfies $\|\mu^{n}*f-\int f\,\mathrm{d}m\|_{p}\to0$ for every $f\in L_{p}$, every (some) $p\in[1,\infty)$, if and only if $|\hat{\mu}(n)|<1$ for every non-zero $n\in\mathbb{Z}$ ($\mu$ is strictly aperiodic). In this paper we study the a.e. convergence of $\mu^{n}*f$ for every $f\in L_{p}$ whenever $p>1$. We prove a necessary and sufficient condition, in terms of the Fourier–Stieltjes coefficients of $\mu$, for the strong sweeping out property (existence of a Borel set $B$ with $\limsup\mu^{n}*1_{B}=1$ a.e. and $\liminf\mu^{n}*1_{B}=0$ a.e.). The results are extended to general compact Abelian groups $G$ with Haar measure $m$, and as a corollary we obtain the dichotomy: for $\mu$ strictly aperiodic, either $\mu^{n}*f\to\int f\,\mathrm{d}m$ a.e. for every $p>1$ and every $f\in L_{p}(G,m)$, or $\mu$ has the strong sweeping out property.

Il est connu qu’une mesure de probabilité $\mu$ sur le cercle $\mathbb{T}$ satisfait $\|\mu^{n}*f-\int f\,\mathrm{d}m\|_{p}\to0$ pour toute fonction $f\in L_{p}$ et pour tout $p\in[1,\infty)$ (ou pour un $p\in[1,\infty)$), si et seulement si $\mu$ est strictement apériodique (i.e. $|\hat{\mu}(n)|<1$ pour tout $n$ non nul dans $\mathbb{Z}$). Nous étudions ici la convergence presque partout de $\mu^{n}*f$ pour $f\in L_{p}$, $p>1$. Nous montrons une condition nécessaire et suffisante portant sur les coefficients de Fourier–Stieltjes de $\mu$ pour la propriété de “balayage fort” (existence d’un borélien $B$ tel que $\limsup\mu^{n}*1_{B}=1$ p.p. et $\liminf\mu^{n}*1_{B}=0$ p.p.). Les résultats sont étendus aux groupes abéliens compacts généraux $G$ de mesure de Haar $m$. Comme corollaire nous obtenons la dichotomie suivante : pour $\mu$ strictement apériodique, soit $\mu^{n}*f\to\int f\,\mathrm{d}m$ p.p. pour tout $p>1$ et toute fonction $f\in L_{p}(G,m)$, soit $\mu$ vérifie la propriété de balayage fort.