Geometry of Lipschitz percolation

Abstract

We prove several facts concerning Lipschitz percolation, including the following. The critical probability p_L for the existence of an open Lipschitz surface in site percolation on ℤ^d with d ≥ 2 satisfies the improved bound p_L ≤ 1 − 1/[8(d − 1)]. Whenever p > p_L, the height of the lowest Lipschitz surface above the origin has an exponentially decaying tail. For p sufficiently close to 1, the connected regions of ℤ^d−1 above which the surface has height 2 or more exhibit stretched-exponential tail behaviour. The last statement is proved via a stochastic inequality stating that the lowest surface is dominated stochastically by the boundary of a union of certain independent, identically distributed random subsets of ℤ^d.

Nous démontrons plusieurs résultats concernant la percolation Lipschitzienne. La probabilité critique p_L pour l’existence d’une surface Lipschitzienne ouverte dans la percolation par site sur ℤ^d (lorsque d ≥ 2) satisfait l’estimation améliorée p_L ≤ 1 − 1/[8(d − 1)]. Pour tout p > p_L, la hauteur de la plus basse surface Lipschitzienne au-dessus de l’origine a une queue qui décroît exponentiellement vite. Lorsque p est suffisamment proche de 1, la taille des régions connexes de ℤ^d−1 au-dessus desquelles cette surface a une hauteur supérieure ou égale à 2 possède un comportement exponentiel étiré. Ce dernier résultat provient d’une inégalité stochastique qui montre que la plus basse surface est dominée stochastiquement par la frontière de l’union de certains ensembles aléatoires de ℤ^d indépendants et identiquement distribués.