Reversed Dirichlet environment and directional transience of random walks in Dirichlet environment

Abstract

We consider random walks in a random environment given by i.i.d. Dirichlet distributions at each vertex of ℤ^d or, equivalently, oriented edge reinforced random walks on ℤ^d. The parameters of the distribution are a 2d-uplet of positive real numbers indexed by the unit vectors of ℤ^d. We prove that, as soon as these weights are nonsymmetric, the random walk is transient in a direction (i.e., it satisfies X_n ⋅ ℓ →_n +∞ for some ℓ) with positive probability. In dimension 2, this result is strenghened to an almost sure directional transience thanks to the 0–1 law from [Ann. Probab. 29 (2001) 1716–1732]. Our proof relies on the property of stability of Dirichlet environment by time reversal proved in [Random walks in random Dirichlet environment are transient in dimension d ≥ 3 (2009), Preprint]. In a first part of this paper, we also give a probabilistic proof of this property as an alternative to the change of variable computation used initially.

On s’intéresse aux marches aléatoires dans un environnement défini par des variables de Dirichlet i.i.d. en chaque sommet de ℤ^d ou, de façon équivalente, aux marches aléatoires renforcées par arêtes orientées sur ℤ^d. Les paramètres de ce modèle sont un 2d-uplet de réels positifs indexé par les vecteurs unitaires de ℤ^d. On démontre que, dès que ces poids ne sont pas symétriques, la marche aléatoire est transiente dans une direction (c’est-à-dire qu’elle satisfait X_n ⋅ ℓ →_n +∞ pour un certain ℓ) avec probabilité positive. En dimension 2, la loi du 0–1 de [Ann. Probab. 29 (2001) 1716–1732] permet de renforcer ce résultat en transience directionnelle presque-sûre. La preuve repose sur la propriété de stabilité des environnements de Dirichlet par renversement temporel introduite dans [Random walks in random Dirichlet environment are transient in dimension d≥3 (2009), Preprint] et dont on donne une nouvelle démonstration, de nature plus probabiliste, en première partie du présent article.